對一個事物，從屬性認(rèn)識到數(shù)量化認(rèn)識，是人的認(rèn)識的飛躍，反過來，現(xiàn)實中事物可利用已認(rèn)識規(guī)律的有關(guān)公式，轉(zhuǎn)化數(shù)字模型來加以研究，這是現(xiàn)在高端大器研究方向方法。這就是數(shù)的作用，可見數(shù)的應(yīng)用廣泛性和高端性。
一、數(shù)的發(fā)展與學(xué)習(xí)過程分下列步驟：
①正整數(shù)及運算。
由計數(shù)引出正整數(shù)。由實際需要引出加減運算。由簡化運算驅(qū)使引進(jìn)乘法運算，由實際引出除法運算。體會運算的關(guān)聯(lián)（加乘關(guān)聯(lián)）及互逆性（加減，乘除互為逆運算）。體會運算的完美（對加法乘法具封閉完備性）與缺陷（對減除法不具完備性），體會數(shù)的無限性，沒有無限性就沒有完備性。
識數(shù)中體會進(jìn)位制（10進(jìn)位，滿10進(jìn)1）。會口算和豎式完成加減乘除運算，還可用一些技巧簡化運算，迅速準(zhǔn)確得到正確結(jié)果。
②正分?jǐn)?shù)的引入，解決現(xiàn)實中不夠分問題。
如將一餅分給3人，不夠分，怎么辦？人將餅3等分，每人便可分一塊。這中的餅三等分后每塊是1/3（三分之一），2塊就是2/3（三分之二），3/3=1。體會正有理數(shù)對加乘除的封閉完備性。
③負(fù)數(shù)引入，解決不夠減。引申為表示欠債，表示位于平均之下，表示位于某指定狀態(tài)之下（如零下3度），表示動態(tài)相反狀態(tài)：如進(jìn)3出2（-2），升5降6（-6），具相對性。
數(shù)系擴充至有理數(shù)，解決了減法的封閉牲。
即有理數(shù)是元素+加減乘除+完備封閉性。
體會特殊元素0和無窮大無窮多個。
絕對值很大或很小數(shù)的表示法，如科學(xué)記數(shù)法。
④實數(shù)：
由解方程引進(jìn)新運算，乘方及其逆運算開方。
研討知有理數(shù)即整數(shù)或分?jǐn)?shù)，化成小數(shù)即有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)（有循環(huán)節(jié)）。
可證二次根號2（√2），三次根號3等不是有理數(shù)。
得知有理數(shù)對開方運算的不封閉完備性。
人們引進(jìn)無理數(shù)，數(shù)系擴充為實數(shù)，正數(shù)的開平方就是實數(shù)了。
無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)。
實數(shù)填滿整條數(shù)軸。完成度量中的封閉完備性（度量出的數(shù)據(jù)都是實數(shù)，度量過程中銜接和截取，運算計數(shù)等都不逃出實數(shù)范圍。）
這就是實數(shù)的意義。
實數(shù)理論的嚴(yán)格完備，需學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中測度論。
另外負(fù)數(shù)也不能開平方，破壞了封閉性。
⑤復(fù)數(shù)：
為了負(fù)數(shù)能開方，引出虛數(shù)，得到復(fù)數(shù)。
復(fù)數(shù)與平面上的點一一對應(yīng)，所以復(fù)數(shù)可以表示平面上的點，平面上的點也可用復(fù)數(shù)表示。復(fù)數(shù)與平面向量形成對應(yīng)。
復(fù)數(shù)對加減乘除乘方開方六則運算具有封閉完備性。且滿足所有運算律：交換律，結(jié)合律，分配律。
復(fù)數(shù)不具有大小。
任一個一元n次方程有n個復(fù)數(shù)解。
復(fù)數(shù)的加乘均具有幾何意義，加法是平移變換，乘法是旋轉(zhuǎn)+伸縮變換。
⑥更高級的理論需要四元數(shù)，八元數(shù)，十六元數(shù)等。
⑦不同環(huán)境下，需用不同進(jìn)位制數(shù)。如計算機中常用二進(jìn)制數(shù)，十六進(jìn)制數(shù)等。
便有二進(jìn)制數(shù)，三進(jìn)制數(shù)，四進(jìn)制數(shù)，…，n（n為大于1的正整數(shù)）進(jìn)制數(shù)，同一進(jìn)制內(nèi)數(shù)的運算，不同進(jìn)制間數(shù)的轉(zhuǎn)換互化。
n進(jìn)制數(shù)，就是在計數(shù)時，滿n進(jìn)1。
人處理時，常將n進(jìn)制數(shù)化為10進(jìn)制數(shù)，運算后，再化為其他進(jìn)制數(shù)。機處理時，常將n進(jìn)制數(shù)化為2進(jìn)制數(shù)，計算后化成10進(jìn)制數(shù)輸出。
2、對數(shù)學(xué)中的數(shù)的學(xué)習(xí)有什么要求？要達(dá)到什么目標(biāo)？
學(xué)會對各種數(shù)的認(rèn)識，會進(jìn)行各種運算，明確數(shù)系是對象（元素）+運算+封閉系統(tǒng)，體會數(shù)系的理想與完美性，認(rèn)識數(shù)系擴充的必要性和人類認(rèn)識數(shù)的發(fā)展歷程。
3、數(shù)外知識展望：
內(nèi)部發(fā)展：進(jìn)一步抽象數(shù)系→群環(huán)域及其理論。數(shù)→數(shù)論。等。
外部發(fā)展一：數(shù)→代數(shù)式→代數(shù)及其理論→方程不等式函數(shù)研究。
外部發(fā)展二：數(shù)→幾何度量→長度面積體積計算運動變化率→微積分。
外部發(fā)展三：數(shù)→實踐中數(shù)的統(tǒng)計處理→數(shù)理統(tǒng)計，數(shù)→隨機事件中的數(shù)→概率論。
外部發(fā)展四：數(shù)學(xué)重思維，重邏輯推理，為了數(shù)學(xué)理論的嚴(yán)密性，又引出對邏輯的研究，形成邏輯學(xué)。分支中有一門電路設(shè)計中的邏輯電路學(xué)，在電腦、電子芯片、各種控制電路中大顯身手。
4、對一個事物，從屬性認(rèn)識到數(shù)量化認(rèn)識，是人的認(rèn)識的飛躍，反過來，現(xiàn)實中事物可利用已認(rèn)識規(guī)律的有關(guān)公式，轉(zhuǎn)化數(shù)字模型來加以研究，這是現(xiàn)在高端大器研究方向方法。這就是數(shù)的作用，可見數(shù)的應(yīng)用廣泛性和高端性。
5、現(xiàn)代所學(xué)的數(shù)學(xué)理論，不管是有數(shù)的，還是無數(shù)的，都是由數(shù)的研究引出，結(jié)合實踐而得來的，所以，盡管分支很多，不見數(shù)的也很多了，但都仍稱為數(shù)學(xué)。
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